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Funktionale Abhängigkeiten

Page history last edited by alindner 11 years, 7 months ago

 

Grundkompetenzen - Algebra und Geometrie - Analysis - Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

 


 

Inhaltsbereich: Funktionale Abhängigkeiten



Funktionsbegriff, Reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften

 

Lernpfad: Funktionale Abhängigkeiten

 

FA1.1 Für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann

 

Qiuz: http://www.mathe-online.at/tests/fun1/grongr.html

 

FA1.2 Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können

 

Quiz: http://www.realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/regentonne.html

Quiz: http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html

 

FA1.3 Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können

 

 

FA1.4 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können

 

Handykosten ablesen: http://www.realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/handykosten.html

 

FA1.5 Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen

 

Eigenschaften von Funktionen: http://thema-mathematik.at/tmwiki/doku.php?id=tmwiki:eigenschaften_von_funktionen

Qiuz: http://www.mathe-online.at/tests/fun1/eigensch.html

 

 

FA1.6 Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können

 

 

FA1.7 Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können

 

Einfaches lineares Modell: http://www.realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/handykosten2.html

 

 

FA1.8 Durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können

 

 

FA1.9 Einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können

 

Elementare Funktionstypen erkennen: http://www.geogebratube.org/student/m13813 (Andreas)

 

Anmerkung:

Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nicht-funktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt, auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit) wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund stehen die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch f: A→B, x l→ f(x)).

 

Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.

Das rechnerische Ermitteln von Schnittpunkten von Funktionen beschränkt sich auf jene Fälle, die durch die im Inhaltsbereich Algebra angeführten Grundkompetenzen abgedeckt sind (lineare, quadratische Gleichungen).

Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.

 

 

Lineare Funktion 

[ f(x) = k · x + d ]

 

Lernpfad: Lineare Funktionen

 

FA2.1 Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können

 

 

FA2.2 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter k und d ermitteln und im Kontext deuten können

 

Parameter k und d aus dem Graphen einer Funktion ablesen: http://www.geogebratube.org/student/m3297

 

FA2.3 Die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können

 

http://thema-mathematik.at/tmwiki/doku.php?id=tmwiki:paravar5_01

 

FA2.4

Charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können:

f(x+1)=f(x)+k;  ( f(x2) - f(x1) )/ (x2 - x1) = k = [f' (x)]

 

 

FA2.5 Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können

 

Quiz: http://home.schule.at/lehrer/lux/Schuljahr0809/6B/linear%20oder%20exponentiell.htm

 

FA2.6 Direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ f(x) = k · x beschreiben können

 

Zuordnungstabellen und Funktionsgraphen: http://tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/funktionsmaschine/graph_abfragen.html

Übung: http://www.realmath.de/Neues/Klasse6/proportion/fahrrad.html

 

Anmerkung: Die Parameter k und d sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.

 

 

Potenzfunktion

mit f (x)=a⋅xz +b, z∈ℤ oder mit f (x)=a⋅x1/2+b

 

Lernpfad: Potenzfunktionen 

Lernpfad: Quadratische Funktionen

 

FA3.1 Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können

 

http://mathe-online.at/galerie/fun1/fun1.html#graphenpf

 

FA3.2 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten können

 

 

FA3.3 Die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können

 

http://www.geogebratube.org/material/show/id/5078

http://www.geogebra.org/de/wiki/index.php/Potenzfunktion

http://mathe-online.at/galerie/fun1/fun1.html#graphenpf

Quiz: http://realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html

 

 

FA3.4 Indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ f(x) = a/x (bzw. f(x) = a x-1 ) beschreiben können

 

Indirekte Proportionalität als Potenzfunktion: http://www.geogebratube.org/material/show/id/5195

http://realmath.de/Neues/Klasse8/hyperbel/hyperbelquiz.html

http://realmath.de/Neues/Klasse8/hyperbel/hyperbel.php

 

Anmerkung: Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall a x1/2 + b beschränkt.

 

Quadratwurzelfunktion: http://www.geogebratube.org/material/show/id/5196

http://realmath.de/Neues/Klasse10/potfkt2/ggbxhochnrat.html

 

 

Polynomfunktion

 

[ f (x)= ∑ ai⋅xi mit  n∈ℕ ]
 

FA4.1 Typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen

 

http://mathe-online.at/galerie/fun1/fun1.html#graphenpf

http://www.geogebratube.org/student/m15567 (Andreas)

 

FA4.2 Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können

 

 

FA4.3 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können

 

 

FA4.4 Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen wissen

 

Untersuchung von Polynomfunktionen (bis Grad 5):

http://www.antonkriegergasse.at/frak/m_archiv/6_2006-07/s/polynome/polynome.html

Polynomfunktion 3. Grades: http://www.geogebra.org/de/examples/poly3/poly3_1.html

 

Anmerkung: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige n bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit n ≤ 4. Argumentwerte sollen aus Tabellen und Graphen, für Polynomfunktionen bis n = 2 und solchen, die sich durch einfaches Herausheben oder einfache Substitution auf quadratische Funktionen zurückführen lassen, auch aus der jeweiligen Funktionsgleichung ermittelt werden können.

 

Exponentialfunktion

[ f (x)=a⋅bx bzw. f (x)=a⋅eλ x mit a, b ∈ℝ+ , λ ∈ℝ]

 

Lernpfad: Exponential- und Logarithmusfunktion 

http://realmath.de/Neues/Klasse10/exponentialfunktion/exponentialfunktion.html

http://realmath.de/Neues/Klasse10/exponentialfunktion/exponentialfunktionmitk.html

 

 

FA5.1 Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können

 

 

 

FA5.2 Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können

 

http://realmath.de/Neues/Klasse10/exponentialfunktion/koordinatenfinden.html

http://realmath.de/Neues/Klasse10/wachstum/nullexp.html

 

FA5.3 Die Wirkung der Parameter a und b (bzw. eλ x) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können

 

http://realmath.de/Neues/Klasse10/exponentialfunktion/exponentialquiz.html

 

FA5.4 Charakteristische Eigenschaften (f(x+1) = b f(x);  [ex]' = ex ) kennen und im Kontext deuten können

 

http://www.geogebratube.org/material/show/id/5204

 

FA5.5 Die Begriffe Halbwertszeit und Verdoppelungszeit kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können

 

http://www.geogebratube.org/material/show/id/5207

 

FA5.6 Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können

 

Quiz: http://home.schule.at/lehrer/lux/Schuljahr0809/6B/linear%20oder%20exponentiell.htm

 

Anmerkung: Die Parameter a und b (bzw.  eλ x) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.

 

 

Sinusfunktion, Cosinusfunktion

 

Lernpfad: Trigonometrische Funktionen

 

FA6.1 Grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art f(x) = a sin(b x) als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können

 

 

FA6.2 Aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können

 

 

FA6.3 Die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können

 

http://www.geogebratube.org/material/show/id/5080

http://www.geogebratube.org/material/show/id/2932

http://mathe-online.at/galerie/wfun/wfun.html#winkelf

http://mathe-online.at/galerie/fun2/fun2.html#sincostan

 

FA6.4 Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können

 

http://www.geogebratube.org/material/show/id/2932

 

FA6.5 Wissen, dass cos(x)=sin(x + π/2)

 

http://www.geogebratube.org/material/show/id/5084

 

FA6.6 Wissen, dass gilt:  [sin (x)]' =cos( x); [cos(x)]' =−sin (x)

 

Grafisches Differenzieren: http://www.geogebratube.org/material/show/id/783

 

Anmerkung: Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken sin, cos und tan verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.

 

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